جبر و معادله

جمعه ۱۰ بهمن ۰۴ | ۲۳:۱۸ ۶ بازديد

جبر و معادله

در بعضی از مسئله‌ها بین عددها یا شکل ها رابطه هایی وجود دارد بیشتر الگوهایی که در مسئله های ریاضی با آنها روبه رو می شویم به دو گونه هستند: الگوهای عددی و الگوهای هندسی.

در الگوهای عددی باید رابطه بین عدد ها را کشف کنیم.

روش الگویابی

الگوهای عددی شامل یک سری اعداد هستند که پشت سر هم نوشته میشوند به طوری که تغییرات آن ها از نظم و قاعده مشخصی پیروی می کند.

اولین قدم در نوشتن الگوی مورد نظر کشف نظم بین اعداد است.

مثال: چه رابطه یا نظمی بین اعداد مقابل برقرار است?

14و11و8و5و2

حل: بین تمام اعداد فاصله ثابت مثبت ۳ برقرار است و هر عدد به اندازه ۳ واحد از عدد قبل خود بیشتر است.

مثال: چه رابطه یا نظمی بین اعداد مقابل برقرار است?

32و16و8و4و2

حل: جمله اول از ضرب یک دو ایجاد می شود، جمله دوم از ضرب دو تا 2، جمله سوم ضرب سه تا 2، جمله چهارم ضری چهار تا 2 و…

گام های رایج در الگو یابی

1- پیدا کردن مقدار ثابت فاصله بین اعداد

2- این مقدار ثابت را به عنوان ضریب یک متغیر مانند a,m,.. قرار می دهیم.

3- شماره شکل یا شماره جمله مورد نظر را به جای متغیر قرار داده و با عدد مربوط به آن شکل یا جمله مقایسه می کنیم و اختلاف هر عدد را بعد از پیدا کردن به صورت منفی با مثبت آن عدد در کنار متغیر و ضریب به دست آمده در گام دوم می نویسیم.

مثال: اعداد زیر از چه الگویی تبعیت می کنند؟

12و9و6و3و0

گام اول: پیدا کردن فاصله ثابت بین اعداد که در این مثال این فاصله 3+ است.

گام دوم: مقداری که برای فاصله به دست آمد را به عنوان ضریب یک متغیر قرار می دهیم که در این مثال برابر می شود با 3n+

گام سوم: حالا باید ببینیم مقدار 3n+ با چه عددی جمع شده و مقدار 0 در جمله اول، مقدار 3 در جمله دوم و… به دست آمده است.

n شماره جمله است، پس برای جمله اول مقدار آن 1 است.برای جمله دوم مقدار آن 2 است و ….

2-=….	<—0=…+3	<—( 1=n )<—	0 = …. + (3n+)
3-=…	<—3=…+6	<—( 2=n )<—	3 = …. + (3n+)
3-=…	<—6=…+9	<—( 3=n )<—	6 = …. + (3n+)

توجه: مقداری که برای …. به دست می آید در تمام جمله ها همواره مقدار ثابتی است. و در صورتی که مقدار آن تغییر کند شما در محاسبات اشتباه نموده اید.

نکته: به جای … شما میتوانید از شکل مربع، دایره و … استفاده کنید.

با این توضیحات جمله عمومی دنباله بالا برابر 2-3n خواهد بود.

نکته: بعضی از اعدادی که به دنبال هم و به صورت متوالی نوشته می شوند، همه مضرب هایی از یک عدد ثابت هستند با ضرب کردن آن عدد ثابت در شماره ترتیبی آن عدد میتوان به عدد جمله مورد نظر رسید.

مثال: جمله پنجم الگوی اعداد مضرب 3 را بنویسید.

الگوی اعداد مضرب 3 یعنی الگویی که تمام جملات آن مضرب 3 هستند. برای به دست آوردن جمله پنجم کافی است 5 را در 3 ضرب کنیم که برابر 15 می شود.

این الگو به صورت زیر است:

15و12و9و6و3

نکته: در بعضی از اعداد که به صورت متوالی نوشته می شوند، میتوان برای پیدا کردن هر عدد به جز عدد اول، عدد قبل را با یک مقدار ثابت جمع کنیم و یا از یک مقدار ثابت کم کنیم.

نکته: در بعضی از اعدادی که به صورت متوالی و پشت سر هم نوشته می شوند، هر عدد بعد عدد اول از ضرب یا تقسیم یک به دست می آید.

مثال: الگوی اعداد زیر را به دست آورید؟

32و16و8و4و2

جمله بعدی=جمله قبلی *2

مثلا اگر بخواهیم جمله بعد از 32 را به دست آوریم کافی است 32 را در 2 ضرب کنیم که برابر 64 می شود.

01 حل معادله

عبارت جبری

هر عبارت جبری شامل یک یا چند عدد،متغیر و عمل هایی مثل جمع،ضرب،تفریق و تقسیم است.

مثال: 3x,5y,n+1

یک جمله ای

هر عبارتی که از حاصل ضرب یک عدد در متغیر ایجاد شود، یک جمله ای نامیده می شود.

نکته: یک جمله ای ها از دو قسمت متغیر و ضریب عددی تشکیل می شوند.

نکته: همه اعداد،یک جمله ای می باشند.

جمله های متشابه

چند جمله ای: اگر دو یا چند یک جمله ای را با هم جمع و تفریق کنیم، چند جمله ای تشکیل می شود.

مثال:

3x² – 1+a و3b+2a

جمله های متشابه: اگر قسمت حرفی یک جمله ای ها یکسان باشند،یک جمله ای ها را متشابه گویند.

مثال: دو جمله 4b و 3b- متشابه هستند چون قسمت حرفی آنها شبیه به هم است اما دو جمله 3a و 3b متشابه نیستند.

ساده کردن عبارت های جبری: برای ساده کردن عبارت های جبری، فقط جمله های متشابه را با هم در نظر می گیریم و آن ها را با هم جمع یا تفریق می کنیم.

مثال: هر یک از عبارت های زیر را ساده کنید.

6b =9b-3b

4a=3a+a

نکته: اگر در یک عبارت جبری حروف متشابه وجود نداشت آن عبارت را نمیتوان ساده نمود و به همان شکل اولیه در قسمت پاسخ می نویسیم.

نکته: برای به دست آوردن تعداد جمله های یک چند جمله ای، ابتدا باید آن چند جمله ای را تا حد امکان ساده نمود و سپس تعداد جمله هایی که بین آنها جمع و تفریق وجود دارد را بشماریم.

نکته: در تمام شکل های هندسی با اضلاع برابر می توان تعداد ضلع ها را در اندازه یکی از اضلاع ضرب نمود و محیط آن شکل را به دست آورد.

نکته: اگر عددی در یک جمله جبری ضرب شود، عدد در ضریب عددی آن جمله ضرب می شود و متغیر یا قسمت حرفی آن تغییر نمی کند و به همان صورت کنار حاصل ضرب می نویسیم.

مثال: حاصل عبارت های زیر را به دست آورید.

21k =7(3k)

5(2abc-)=10abc-

در یک عبارت جبری اگر به جای متغیر یا متغیر های آن، عدد یا عدد های معینی قرار دهیم، مقدار عددی آن عبارت به دست می آید.

نکته: در انجام عملیات محاسبه مقدار عبارت، ترتیب انجام عملیات را رعایت کنید.

نکته: برای حل کل مسائل مربوط به مقدار عددی هر عبارت، بهتر است عدد داده شده را داخل پرانتز به جای متغیر در عبارت جایگزین نمایید.

معادله: به یک تساوی جبری که به ازای بعضی از عدد ها به تساوی عددی تبدیل می شوند،معادله می گویند.
جواب های معادله،همان عددهایی هستند،که تساوی عددی را برقرار می کنند.

برای حل معادله مراحل زیر را انجام می دهیم:

1- متغیر ها را به یک طرف تساوی و اعداد را به طرف دیگر تساوی منتقل می کنیم، وقتی یک عبارت را به طرف دیگر تساوی می بریم، آن را قرینه می کنیم.
2- دو طرف تساوی را ساده می کنیم.
3- دو طرف تساوی را بر ضریب مجهول تقسیم می کنیم.

نکته: برای اینکه مطمئن شویم جواب بدست آمده درست است یا نه، کافی است جواب را در معادله جایگذاری کنیم، اگر تساوی برقرار شد،جواب درست و در غیر این صورت جواب نادرست است.