شمارنده ها و اعداد اول

اعداد طبیعی: از اعداد طبیعی برای شمارش استفاده می شود.

اعداد طبیعی را با حرف N نمایش می دهند.

{…و4و3و2و1}=N

نکته: حاصل جمع دو عدد طبیعی، یک عدد طبیعی است.

مثال:

3+2=5

نکته: حاصل ضرب دو عدد طبیعی، یک عدد طبیعی است.

مثال:

3×2=6

نکته: حاصل جمع یا تفریق دو عدد زوج طبیعی، عددی زوج است.

مثال:

4+2=6

4-2=2

روش های تعیین شمارنده یک عدد

روش اول، ضرب کردن: برای پیدا کردن شمارنده های یک عدد، آن عدد را به صورت ضرب دو عدد طبیعی می نویسیم(تمام حالت های ممکن نوشته شود).

❓سوال: شمارنده چیست؟

شمارنده ی یک عدد مثل 36 یعنی همان اعدادی که وقتی در هم ضرب می شوند حاصل آنها 36 می شود.

مثلا ضرب 1 و 36 میشود 36، پس 1 و 36 شمارنده های 36 هستند.

یا ضرب 2 و 18 می شود 36، پس 2 و 18 شمارنده های 36 هستند و به همین ترتیب تمام اعدادی که حاصل ضرب آنها برابر 36 می شود را باید نوشت.

مثال: شمارنده های عدد 30 را بنویسید؟

1,2,3,5,6,10,15,30

❓سوال: شمارنده های اول عدد 30 کدام اعداد هستند؟

شمارنده های عدد 30 در مثال قبل نوشته شده است. از بین این اعداد باید عدد های اول را برای جواب این سوال بنویسیم که برابر 2و3و5 است.

مثال: شمارنده های عدد 36 را بنویسید؟

1,2,3,4,9,12,18,36

روش دوم، تقسیم کردن: برای پیدا کردن شمارنده های یک عدد ، تمام تساوی های تقسیم را برای آن عدد می نویسیم. تقسیم ها نباید باقی مانده بیاورند.

مثال: شمارنده های 10 را بنویسید؟

10٪1=10  ,10٪2=5

پس شمارنده های 10 برابر شد با:

1,2,5,10

❓سوال: عدد 100 دارای چند شمارنده است؟ 9 شمارنده

روش سوم، دسته بندی کردن شکل: برای پیدا کردن شمارنده های یک عدد به تعداد آن عدد شکل کشیده و آن ها را به دسته های مساوی تقسیم می کنیم.

مثال: می خواهیم همه شمارنده های 36 را بنویسیم.

برای این کار باید تمام حالت هایی که ضرب دو عدد طبیعی مساوی 36 می شود را پیدا کنیم.

سعی کنید با یک نظم و ترتیب جلو برید که همه حالت ها را بنویسید.

بیاید برای عدد 36 این کار را کنیم :

در مرحله آخر فقط عدد ها رو به ترتیب بنویسم وبدون تکرار اعداد:

1 و2و3و4و6و9و12و18و36شمارنده های عدد 36 هستند.

❓سوال: کوچکترین و بزرگترین شمارنده هر عدد چیست؟

کوچکترین شمارنده هر عدد یک و بزرگترین شمارنده هر عدد خود آن عدد است.

عدد اول

تعریف: عدد اول، عدد طبیعی بزرگتر از یک است که فقط دو شمارنده دارد، یک و خود عدد.

تعریف دیگر: عدد اول، عدد طبیعی بزرگتر از یک است که فقط بر یک و خود عدد بخش پذیر باشد.

اعداد اول کوچکتر از 100 عبارتند از:

97و89و83و79و73و71و67و61و59و53و47و43و41و37و31و29و23و19و17و13و11و7و5و3و2

روش های تعیین عدد اول

روش اول: اگر نتوان عددی را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگتر از  یک نوشت آن عدد اول است.

روش دوم: اگر عددی به جز بر خودش و بر یک بر عدد دیگری بخش پذیر باشد آن عدداول نیست.

مثال: عدد 2 اول است زیرا آن را نمیتوان به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگتر از یک نوشت. 

تنها حالتی که میتواند عدد 2 را ایجاد کند 1×2 است.

حتما ببینید: اعداد اول و مرکب چه اعدادی هستند؟

❓سوال: شمارنده اول چیست؟

به شمارنده هایی مانند:2و 3 و 5 و 7 و 13 و 17 و ….. که فقط دو شمارنده دارند و آن دو شمارنده عدد 1 و خود آن عدد است عدد اول می گویند .

مثلا: تمام شمارنده های عدد 42 عبارتند از: 1 و 2 و 3 و6و7و 14 و 21 و 42 .

که شمارنده های اول عدد 42 عبارتند از: 2 و 3 و 7 که این اعداد را در ریاضی به این صورت مینویسیم: 7*3*2 

❓سوال: تنها عدد طبیعی که شمارنده اول ندارد چیست؟

تنها عددی که شمارنده اول ندارد عدد یک است، زیرا یک نه اول است نه مرکب.

❓سوال : کوچکترین عددی که چهار شمارنده اول دارد؟

باید چهار عدد اول  یعنی اعداد 2و3و5و7 را در نظر بگیریم و آنها را در هم ضرب کنیم تا کوچکترین عدد به دست آید که برابر 210 است.

قواعد بخش پذیری

بخش پذیری بر 1: تمام اعداد بر یک بخش پذیر هستند.

بخش پذیری بر2: اعدادی که رقم یکان آنها زوج یا یکی از ارقام 0،2،4،6،8 باشد،بر2 بخش پذیر هستند.

مثال: 962 و 250 بر 2 بخش پذیر هستند.(زیرا رقم یکان آنها زوج است.)

بخش پذیری بر3: اعدادی که مجموع رقم های آنها بر 3 بخش پذیر باشد،بر3 بخش پذیر است.

مثال: 972 بر 3 بخش پذیر است زیرا مجموع رقم ها یعنی 9+7+2=18 بر 3 بخش پذیر است.

بخش پذیری بر 5: اعدادی که رقم یکان آنها،0یا5 باشد، بر 5 بخش پذیر هستند.

مثال: عدد 27795 و 374890 بر 5 بخش پذیر هستند زیرا رقم یکان آنها 0 یا 5 است.

بخشپذیری بر 6: عددی بر 6 بخش پذیر است که هم بر 2 و هم بر 3 بخش پذیر باشد.

مثال:24 بر 6 بخش پذیر است زیرا رقم یکان بر 2 بخش پذیر است و برای بخش پذیر بودن بر 3 هم (4+2=6)بر 3 بخش پذیر است.

بخش پذیری بر 7: عددی بر 7 بخش پذیر است که اگر رقم یکان آن را دو برابر نموده و از عددی که از حذف یکان پدید می آید کم کنیم حاصل بر 7 بخش پذیر باشد.

مثال: 157 بر  7 بخش پذیر است.

7=8 – 15<—8=2*4<—154

بخش پذیری بر 8: عددی بر 8 بخش پذیر است که سه رقم سمت راست آن ( عددی که با سه رقم سمت راست ایجاد می شود) بر 8 بخش پذیر باشد.

مثال: 12096 بر 8 بخش پذیر است.

12 =8 / 96<—096<—12096

بخش پذیری بر 9: اعدادی  که مجموع رقم های آنها بر 9 بخش پذیر باشند، بر 9 بخش پذیر هستند.

مثال: 7191 بر 9 بخش پذیر است.

2=9 / 18 =1 + 9+ 1+ 7

همین حالا یاد بگیر: قواعد بخش پذیری بر اعداد 1 تا 15

15 نکته واجب از شمارنده ها و اعداد اول که باید یاد بگیری!

*برای تسلط بر مبحث شمارنده ها و اعداد اول حتما فیلم آموزش فصل پنجم را از سایت  تهیه کنید.

نکته1: a شمارنده b است و b شمارنده c است. در نتیجه a شمارنده c است.

نکته2: عدد یک شمارنده همه عدد های طبیعی است.

نکته3: کوچکترین شمارنده هر عدد یک است.

نکته4: بزرگترین شمارنده هر عدد خود عدد است.

نکته5: هر عدد شمارنده خودش است.

نکته6: هر عدد طبیعی به جز یک، حداقل دو شمارنده دارد.

نکته7: عدد 2، تنها عدد اول زوج است.

نکته8: حاصل ضرب دو عدد اول، عدد اول نیست.

نکته9: شمارنده های یک عدد کوچکتر یا مساوی آن عدد هستند.

نکته10: شمارنده های یک عدد محدود است.

نکته11: اگر a بر b بخش پذیر باشد، در نتیجه b شمارنده a است. به عبارت دیگر، هر عد طبیعی بر همه شمارنده هایش بخش پذیر است.

نکته12: تنها شمارنده های طبیعی عدد یک ، خود یک است.

نکته13: عدد یک نه اول است و نه مرکب.

نکته14: حاصل جمع یا تفریق دو عدد اول می تواند عدد اول یا مرکب باشد.

نکته15: اعداد اول بی شمار هستند.

شمارنده اول: از بین شمارنده های یک عدد به شمارنده هایی که عدد اول هستند، شمارنده اول آن عدد می گویند.

یافتن شمارنده های اول یک عدد

روش اول، نوشتن  تمام شمارنده های عدد: در این روش تمام شمارنده های عدد را می نویسیم و شمارنده های اول را مشخص می کنیم.

روش دوم، نمودار درختی: برای رسم نمودار درختی یک عدد، آن عدد را به صورت ضرب دو عدد طبیعی غیر از یک می نویسیم و این کار را آنقدر ادامه می دهیم تا جایی که دیگر نتوان عدد را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگتر از یک نوشت پس به شمارنده های اول آن عدد می رسیم.

نکته: ممکن است برای یک عدد بتوان به چند شکل مختلف نمودار درختی کشید، تفاوتی ندارد از کدام نمودار درختی استفاده کرد.

تجزیه یک عدد

به کمک نمودار درختی میتوان شمارنده های اول یک عدد را  مشخص کرد و سپس آن عدد را به صورت ضرب شمارنده های اولش نوشت، که به این عمل تجزیه کردن عدد می گویند.

ساختن عدد های مختلف با شمارنده های اول

1- هر شمارنده اول را در عدد یک ضرب کنیم.

2- شمارنده های اول را در هم ضرب کنیم.

3- هر شمارنده اول را چندین مرتبه در خودش ضرب کنیم.

4- شمارنده های اول را چندین مرتبه در هم ضرب کنیم.

مثال: با شمارنده های اول 2 و 7 عدد های مختلف بسازید.

*تمام این اعداد شمارنده های اول 2 یا 7 دارند.

تعیین تمام شمارنده های یک عدد:

1- اولین عدد همیشه یک است که هیچ شمارنده اولی ندارد.

2- با توجه به تجزیه عدد، ضرب هایی را می نویسیم که فقط یک شمارنده اول داشته باشند.

3- با توجه به تجزیه عدد ضرب هایی را می نویسیم که  فقط دو شمارنده اول داشته باشد.

4- با توجه به تجزیه عدد ضرب هایی را می نویسیم که فقط سه شمارنده اول داشته باشد.

نکته: تمام اعداد طبیعی  به جز یک حداقل یک شمارنده اول دارند.

نکته: عدد 2 شمارنده اول اعداد زوج است.

نکته: طول و عرض یک مستطیل شمارنده های مساحت آن هستند.

 ب.م.م: بزرگترین شمارنده مشترک دو عدد را بزرگترین قسوم علیه مشترک دو عدد می گویند که به اختصار آن را ب.م.م می نویسند.

نکته: ب.م.م دو عدد a,b را به صورت (a,b) نشان می دهند.

دو روش برای پیدا کردن ب.م.م دو عدد وجود دارد.

روش اول: نوشتن تمام شمارنده ها
مرحله1: تمام شمارنده های دو عدد را تعیین می کنیم.
مرحله2: شمارنده های مشترک دو عدد را مشخص می کنیم.
مرحله 3: بزرگترین شمارنده مشترک دو عدد را می یابیم.

تجزیه:

برای این کار کافی است عدد ها را تجزیه کنیم و به صورت ضرب شمارنده های اول بنویسیم، سپس شمارنده های مشترکشان را  با کمترین تکرار در هم ضرب کنیم، عدد حاصل همان ب.م.م است.

نکته:عدد یک، کوچکترین شمارنده مشترک هر دو عدد است، اگر در تجزیه دو عدد a,b  شمارنده  اول مشترک وجود نداشته باشد، آنگاه ب.م.م دو عدد برابر یک است.

نکته: اگر a,b دو عدد اول متمایز باشند آنگاه ب.م.م آنها برابر یک است.

نکته: ب.م.م دو عدد یکسان با خود آن عدد برابر است.

نکته: ب.م.م a و 1 برابر 1 است.

نکته: اگر b بر a قابل قسمت باشد، آنگاه ب.م.م دو عدد برابر a است.

نکته: اگر a یک عدد اول و b یک عدد دلخواه باشد و b بر a قابل قسمت نباشد، آنکاه ب.م.م دو عدد برابر یک است.

مضرب های صحیح: از ضرب یک عدد در عدد های صحیح، مضرب های آن عدد به دست می آید.
مضرب های طبیعی: مضرب های طبیعی یک عدد از ضرب آن عدد در عددهای طبیعی به دست می آید.
نکته: اگر n یک عدد باشد، آنگاه k امین مضرب n برابر n k =n* k
 می باشد.
نکته: تعداد مضرب های یک عدد دلخواه غیر صفر، نامحدود است.

ک.م.م:  اولین مضرب مشترک دو عدد را کوچکترین مضرب مشترک آن دو عدد می گوییم، کوچکترین مضرب مشترک دو عدد را به طور اختصار ک.م.م می گویند.

چطور ک م م دو عدد را به دست آوریم؟

نکته: ک.م.م دو عدد را به صورت [a,b] دو عدد نشان می دهند.

 دو روش برای پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک دو عدد وجود دارد.

روش اول: نوشتن تعدادی از مضرب های دو عدد
مرحله1: مضرب های دو عدد را مشخص می کنیم.
مرحله2:مضرب های مشترک دو عدد را مشخص می کنیم.
مرحله 3: کوچکترین مضرب مشترک را مشخص می کنیم.

نکته: با داشتن کوچکترین مضرب مشترک هر دو عدد دلخواه، میتوانیم مضرب های مشترک بعدی آن ها را مشخص کنیم، برای این کار کافی است ک.م.م دو عدد را به دست آوریم.

روش دوم:تجزیه

ابتدا دو عدد را تجزیه می کنیم سپس تمام شمارنده های اول که در تجزیه دو عدد آمده است ( چه شمارنده های مشترک چه شمارنده های غیر مشترک)، به تعداد بیشترین تکرارشان در هرکدام از  دو عدد، در هم ضرب می کنیم. عدد حاصل همان ک.م.م دو عدد است .

نکته: به همین ترتیب می توان ک.م.م بیشتر از دو عدد را به دست آورد.

نکته: حاصل ضرب دو عدد برابر حاصل ضرب ب.م.م و ک.م.م دو عدد است .
[a,b]×(a,b)=ab

نکته: اگر ب.م.م دو عدد برابر یک باشد، آنگاه ک.م.م دو عدد برابر حاصل ضرب دو عدد است.
نکته: اگر عددی بر عدد دیگر بخش پذیر باشد، عدد بزرگتر ک.م.م دو عدد است.

نکته: ک.م.م دو عدد یکسان، برابر خود همان عدد است.

نکته: ک.م.م هر عدد با یک برابر خود همان عدد است.

نکته: ب.م.م دو عدد، شمارنده ک.م.م دو عدد است.

مجموعه آموزشی عینکی آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هست.

هر سوالی در ارتباط با شمارنده ها و اعداد اول ریاضی هفتم دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد